Так как высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, является одновременно и биссектрисой и медианой, следовательно, она делит основание и угол при вершине на две равные части, образуя прямоугольный треугольник со сторонами a и b/2. Из теоремы Пифагора в таком треугольнике можно найти само основание, а затем рассчитать все остальные возможные данные. (рис.88.2) h^2+(b/2)^2=a^2 b=√(a^2-h^2)/2

Чтобы вычислить периметр равнобедренного треугольника, надо к двум боковым сторонам прибавить основание или приведенный выше радикал через высоту. P=2a+b=2a+√(a^2-h^2)/2

Площадь равнобедренного треугольника через высоту и основание по определению вычисляется как половина их произведения. Заменив основание на соответствующее ему выражение, получаем площадь через высоту и боковую сторону равнобедренного треугольника. S=hb/2=(h√(a^2-h^2))/4

В равнобедренном треугольнике равны не только боковые стороны, но и углы при основании, а так как в сумме они дают всегда 180 градусов, то любой из углов можно найти, зная другой. Первый угол вычисляется по теореме косинусов, приведенной для равных боковых сторон, а второй можно найти через разность от 180. (рис.88.1) cos⁡α=(b^2+c^2-a^2)/2bc=(b^2+a^2-a^2)/2ba=b^2/2ba=b/2a cos⁡β=(a^2+a^2-b^2)/(2a^2)=(2a^2-b^2)/(2a^2) α=(180°-β)/2 β=180°-2α

Центральные медиана и биссектриса, опущенные на основание совпадают с высотой, а боковые медианы, высоты и биссектрисы можно найти по следующим формулам для равнобедренных треугольников. Чтобы вычислить их через высоту и боковую сторону, нужно заменить основание на эквивалентное ему выражение. (рис. 88.3) m_a=√(2a^2+2b^2-a^2)/2=√(a^2+2b^2)/2

Высота, опущенная на боковую сторону, через высоту, опущенную на основание и боковую сторону равнобедренного треугольника. (рис.88.8) h_a=(b√((4a^2-b^2)))/2a=(√(a^2-h^2) √((4a^2-a^2+h^2)))/2a=√((a^2-h^2)(3a^2+h^2))/2

Биссектрисы, направленные в боковые стороны, также могут быть выражены через боковую сторону и центральную высоту треугольника. (рис. 88.4) l_a=√(ab(2a+b)(a+b-a))/(a+b)=√(a(a^2-h^2)(2a+√(a^2-h^2)))/(a+√(a^2-h^2))

Средняя линия проводится параллельно любой стороне треугольника, соединяя середины боковых в ее отношении сторон. Таким образом, она всегда оказывается равна половине параллельной ей стороны. Вместо неизвестного основания в формулу можно подставить используемый радикал, чтобы найти среднюю линию через высоту и боковую сторону равнобедренного треугольника(рис. 88.5) M_b=b/2=√(a^2-h^2)/2 M_a=a/2

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, начинается от точки на пересечении биссектрис и уходит перпендикулярно в любую из сторон. Чтобы его найти через высоту и боковую сторону треугольника, надо заменить основание в формуле на радикал. (рис. 88.6) r=1/2 √(((a^2-h^2)(2a-√(a^2-h^2)))/(2a+√(a^2-h^2)))

Радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, также выводится из общей формулы путем подстановки радикала через высоту и боковую сторону вместо основания. (рис. 88.7) R=a^2/√(3a^2-h^2)

Каждому иногда приходится освежить школьные знания, даже если, на первый взгляд, итоговая формула выглядит не сложной. Высоту равнобедренного треугольника легко вывести из теоремы знаменитого математика Пифагора, либо извлечь из формулы Герона.

Вычисление высоты равнобедренного треугольника онлайн

Самый простой способ, который не потребует от вас никаких умственных усилий – это нахождение искомой величины с использованием онлайн сервисов. Многие сайты предлагают вычислить высоту равнобедренного треугольника, пользователю лишь потребуется задать первоначальные величины – длины сторон (для равнобедренного – сторону и основание). К примеру, можно воспользоваться этой страницей совершенно бесплатно. Если вы хотите совершить вычисления самостоятельно, переходите к следующему пункту.

Формулы для высоты равнобедренного треугольника

Согласно вычислениям из указанных во вступлении теорем, формула для высоты такого треугольника равна корню из разности сторон, каждая из которых возведена в квадрат и поделена на 4. Визуально это выглядит так (где h – искомая высота, а – длина основания треугольника, b – длина его стороны):

Если у вас все еще остались вопросы, послушайте подробное и понятное видео, на котором учитель объясняет, как найти высоту треугольника с равными сторонами.

Свойства равнобедренного треугольника выражают следующие теоремы.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Докажем одну из них, например теорему 2.5.

Доказательство. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС и докажем, что ∠ В = ∠ С. Пусть AD - биссектриса треугольника ABC (рис.1). Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (АВ = АС по условию, AD - общая сторона, ∠ 1 = ∠ 2, так как AD - биссектриса). Из равенства этих треугольников следует, что ∠ В = ∠ С. Теорема доказана.

С использованием теоремы 1 устанавливается следующая теорема.

Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 2).

Замечание. Предложения, установленные в примерах 1 и 2, выражают свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Из этих предложений следует, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке .

Пример 1. Доказать, что точка плоскости, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Решение. Пусть точка М равноудалена от концов отрезка АВ (рис. 3), т. е. AM = ВМ.

Тогда Δ АМВ равнобедренный. Проведем через точку М и середину О отрезка АВ прямую р. Отрезок МО по построению есть медиана равнобедренного треугольника АМВ, а следовательно (теорема 3), и высота, т. е. прямая МО, есть серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Пример 2. Доказать, что каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.

Решение. Пусть р - серединный перпендикуляр к отрезку АВ и точка О - середина отрезка АВ (см. рис. 3).

Рассмотрим произвольную точку М, лежащую на прямой р. Проведем отрезки AM и ВМ. Треугольники АОМ и ВОМ равны, так как у них углы при вершине О прямые, катет ОМ общий, а катет ОА равен катету ОВ по условию. Из равенства треугольников АОМ и ВОМ следует, что AM = ВМ.

Пример 3. В треугольнике ABC (см. рис. 4) АВ = 10 см, ВС = 9 см, АС = 7 см; в треугольнике DEF DE = 7 см, EF = 10 см, FD = 9 см.

Сравнить треугольники ABC и DEF. Найти соответственно равные углы.

Решение. Данные треугольники равны по третьему признаку. Соответственно равные углы: А и Е (лежат против равных сторон ВС и FD), В и F (лежат против равных сторон АС и DE), С и D (лежат против равных сторон АВ и EF).

Пример 4. На рисунке 5 АВ = DC, ВС = AD, ∠B = 100°.

Найти угол D.

Решение. Рассмотрим треугольники ABC и ADC. Они равны по третьему признаку (АВ = DC, ВС = AD по условию и сторона АС - общая). Из равенства этих треугольников следует, что ∠ В = ∠ D, но угол В равен 100°, значит, и угол D равен 100°.

Пример 5. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC . Ответ дайте в градусах.

Видео-решение.

Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел равнобедренный треугольник). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение .

Задача

В равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны AB, и AC равны 13а. Тангенс угла B равен 3/4. Найдите высоту AK, проведенную к основанию BC этого равнобедренного треугольника.

Решение .
Поскольку мы знаем тангенс угла B, то стороны прямоугольного треугольника AKB соотносятся как
AK/KB = tg B = 3/4

Обозначим коэффициент пропорциональности этих сторон как х.
Тогда по теореме Пифагора для данного треугольника будет справедливо выражение:

(3x) 2 + (4x) 2 = (13a) 2
9x 2 + 16x 2 = 169a 2
25x 2 = 169a 2
x 2 = 169/25a 2
x = 13/5a

Откуда
AK = 3x = 13/5a*3= 7,8a
KB = 4x = 13/5a*4 = 10,4a

Ответ : 7,8a и 10,4a