Периметр - один из математических, а точнее - геометрических терминов, применяется в основном для вычисления сторон фигуры.
Из нашей статьи вы узнаете, что такое периметр и как он измеряется на примере основных геометрических фигур.
Определение периметра
Периметром называют общую длину всех сторон или окружности той или иной фигуры. Обозначается периметр большой буквой «Р», а измерять его можно в различных единицах длины, таких как миллиметры (мм), сантиметры (см), метры (м) и т. д. Для различных фигур существуют различные формулы для нахождения периметра. Ниже мы приведем несколько примеров, как узнать периметр у прямоугольника и некоторых других фигур.
Измеряем периметр
Если вам необходимо узнать периметр у сложной фигуры (к таким фигурам можно отнести фигуры с неровными линиями), то для этого вам понадобится веревка или нитка. При помощи этих вещей необходимо описать точный контур фигуры, а чтобы не запутаться, вы можете на веревке сделать отметки карандашом. Или же можно просто ее обрезать, а после приложить все части к линейке. Таким образом, вы узнаете, чему равен периметр практически у любой сложной фигуры.
Существует еще одно приспособление для вычисления периметра у сложных фигур: его называют курвиметр (роликовый дальномер). С его помощью вам нужно установить ролик в любую точку фигуры и описать роликом контур фигуры. Полученное число и будет равно периметру. О нахождении периметра у других геометрических фигур вы сможете узнать из нашей статьи . Ну а мы расскажем ещё о нескольких способах изменения периметра для разных фигур.
Круг, квадрат, равносторонний треугольник
Давайте также рассмотрим, как узнать периметр круга. Это довольно-таки просто: достаточно лишь определить длину окружности, а сделать это можно, умножив радиус «r» на число π≈3,14 и затем на 2 (P=L=2∙π∙r).
Одним из базовых понятий математики является периметр прямоугольника. На эту тему существует множество задач, при решении которых не обойтись без формулы периметра и навыков его вычисления.
Основные понятия
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые, а противоположные стороны попарно равны и параллельны. В нашей жизни многие фигуры имеют форму прямоугольника, например, поверхность стола, тетрадь и прочее.
Рассмотрим пример: по границам земельного участка необходимо поставить забор. Для того чтобы узнать длину каждой из сторон необходимо их измерить.
Рис. 1. Земельный участок формой прямоугольника.
Земельный участок имеет стороны длиной 2 м., 4 м., 2 м., 4 м. потому чтобы общую узнать длину забора необходимо сложить длины всех сторон:
2+2+4+4= 2·2+4·2 =(2+4)·2 =12 м.
Именно эта величина в общем случае и называется периметром. Таким образом, для нахождения периметра необходимо сложить все стороны фигуры. Для обозначения периметра используют букву P.
Для вычисления периметра прямоугольной фигуры не нужно разделять её на прямоугольники, нужно измерить линейкой (рулеткой) лишь все стороны данной фигуры и найти их сумму.
Периметр прямоугольника измеряется в мм., см., м., км и так далее. При необходимости, данные в задании, переводят в одинаковую систему измерения.
Периметр прямоугольника измеряется в различных единицах: мм., см., м., км и так далее. При необходимости, данные в задании, переводят в одну систему измерения.
Формула периметра фигуры
Если принять к вниманию тот факт, что противоположные стороны прямоугольника равны, то можно вывести формула периметра прямоугольника:
$P = (a+b) * 2$, где а, b – стороны фигуры.
Рис. 2. Прямоугольник, с обозначенными противоположными сторонами.
Существует и другой способ найти периметр. Если в задание дано лишь одну сторону и площадь фигуры, можно использовать выразить другую сторону через площадь. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:
$P = {{2S + 2a2}\over{a}}$, где S – площадь прямоугольника.
Рис. 3. Прямоугольник с сторонами a, b .
Задание : Вычислить периметр прямоугольника, если его стороны равны 4 см. и 6 см.
Решение:
Используем формулу $P = (a+b)*2$
$P = (4+6)*2=20 см$
Таким образом, периметр фигуры $P = 20 см$.
Так как периметр – это сумма все сторон фигуры, то полупериметр это сумма только одной длины и ширины. Чтобы получить периметр необходимо полупериметр умножить на 2.
Площадь и периметр – это два основных понятия измерения любой фигуры. Их нельзя путать, хоть они и связаны между собой. Если увеличить, либо уменьшить площадь, то, соответственно, увеличится либо уменьшится его периметр.
Что мы узнали?
Мы узнали, как найти периметр прямоугольника. А также ознакомились с формулой его вычисления. С этой темой можно столкнуться не только при решении математических задач, но и в реальной жизни.
Тест по теме
Оценка статьи
Средняя оценка: 4.5 . Всего получено оценок: 340.
, ломаная и т. д.:
Если внимательно посмотреть на все эти фигуры, то можно выделить две из них, которые образованы замкнутыми линиями (окружность и треугольник). Эти фигуры имеют своего рода границу, отделяющую то что находится внутри, от того что находится снаружи. То есть граница делит плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю область относительно фигуры, к которой она относится:
Периметр
Периметр - это замкнутая граница плоской геометрической фигуры, отделяющая её внутреннюю область от внешней.
Периметр есть у любой замкнутой геометрической фигуры:
На рисунке периметры выделены красной линией. Обратите внимание, что периметр окружности часто называют длиной.
Периметр измеряется в единицах измерения длины: мм, см, дм, м, км.
У всех многоугольников нахождение периметра сводится к сложению длин всех сторон, то есть периметр многоугольника всегда равен сумме длин его сторон. При вычислении периметр часто обозначают большой латинской буквой P:
Площадь
Площадь - это часть плоскости, занимаемая замкнутой плоской геометрической фигурой.
Любая плоская замкнутая геометрическая фигура имеет определённую площадь. На чертежах площадью геометрических фигур является внутренняя область, то есть та часть плоскости, которая находится внутри периметра.
Измерить площадь фигуры - значит найти, сколько раз в данной фигуре помещается другая фигура, принятая за единицу измерения. Обычно за единицу измерения площади принимается квадрат, у которого сторона равна единице измерения длины: миллиметру, сантиметру, метру и т. д.
На рисунке изображён квадратный сантиметр. - квадрат, у которого каждая сторона имеет длину 1 см:
Площадь измеряется в квадратных единицах измерения длины. К единицам измерения площади относятся: мм 2 , см 2 , м 2 , км 2 и т. д.
Таблица перевода квадратных единиц
| мм 2 | см 2 | дм 2 | м 2 | ар (сотка) | гектар (га) | км 2 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| мм 2 | 1 мм 2 | 0,01 см 2 | 10 -4 дм 2 | 10 -6 м 2 | 10 -8 ар | 10 -10 га | 10 -12 км 2 |
| см 2 | 100 мм 2 | 1 см 2 | 0,01 дм 2 | 10 -4 м 2 | 10 -6 ар | 10 -8 га | 10 -10 км 2 |
| дм 2 | 10 4 мм 2 | 100 см 2 | 1 дм 2 | 0,01 м 2 | 10 -4 ар | 10 -6 га | 10 -8 км 2 |
| м 2 | 10 6 мм 2 | 10 4 см 2 | 100 дм 2 | 1 м 2 | 0,01 ар | 10 -4 га | 10 -6 км 2 |
| ар | 10 8 мм 2 | 10 6 см 2 | 10 4 дм 2 | 100 м 2 | 1 ар | 0,01 га | 10 -4 км 2 |
| га | 10 10 мм 2 | 10 8 см 2 | 10 6 дм 2 | 10 4 м 2 | 100 ар | 1 га | 0,01 км 2 |
| км 2 | 10 12 мм 2 | 10 10 см 2 | 10 8 дм 2 | 10 6 м 2 | 10 4 ар | 100 га | 1 км 2 |
| 10 4 = 10 000 | 10 -4 = 0,000 1 |
| 10 6 = 1 000 000 | 10 -6 = 0,000 001 |
| 10 8 = 100 000 000 | 10 -8 = 0,000 000 01 |
| 10 10 = 10 000 000 000 | 10 -10 = 0,000 000 000 1 |
| 10 12 = 1 000 000 000 000 | 10 -12 = 0,000 000 000 001 |
В следующих тестовых заданиях требуется найти периметр фигуры, изображенной на рисунке.
Найти периметр фигуры можно разными способами. Можно преобразовать исходную фигуру таким образом, чтобы периметр новой фигуры можно было бы легко вычислить (например, перейти к прямоугольнику).
Другой вариант решения — искать периметр фигуры непосредственно (как сумму длин всех её сторон). Но в этом случае нельзя полагаться только на рисунок, а находить длины отрезков, исходя из данных задачи.
Хочу предупредить: в одном из заданий среди предложенных вариантов ответов я не нашла того, который получился у меня.
C) .
Перенесем стороны маленьких прямоугольников с внутренней области во внешнюю. В результате большой прямоугольник замкнулся. Формула для нахождения периметра прямоугольника
В данном случае, a=9a, b=3a+a=4a. Таким образом, P=2(9a+4a)=26a. К периметру большого прямоугольника прибавляем сумму длин четырех отрезков, каждый из которых равен 3a. В итоге, P=26a+4∙3a=38a .
C) .
После переноса внутренних сторон маленьких прямоугольников во внешнюю область, получаем большой прямоугольник, периметр которого равен P=2(10x+6x)=32x, и четыре отрезка, два — диной по x, два — по 2x.
Итого, P=32x+2∙2x+2∙x=38x .
?) .
Перенесем 6 горизонтальных «ступенек» из внутренней части во внешнюю. Периметр полученного большого прямоугольника равен P=2(6y+8y)=28y. Осталось найти сумму длин отрезков внутри прямоугольника 4y+6∙y=10y. Таким образом, периметр фигуры равен P=28y+10y=38y .
D) .
Перенесем вертикальные отрезки из внутренней области фигуры влево, во внешнюю область. Чтобы получить большой прямоугольник, перенесём одни из отрезков длиной 4x в нижний левый угол.
Периметр исходной фигуры найдём как сумму периметра этого большого прямоугольника и длин оставшихся внутри трёх отрезков P=2(10x+8x)+6x+4x+2x=48x .
E) .
Перенеся внутренние стороны маленьких прямоугольников во внешнюю область, получим большой квадрат. Его периметр равен P=4∙10x=40x. Чтобы получить периметр исходной фигуры, нужно у периметру квадрата прибавить сумму длин восьми отрезков, каждый длиной 3x. Итого, P=40x+8∙3x=64x .
B) .
Перенесём все горизонтальные «ступеньки» и вертикальные верхние отрезки во внешнюю область. Периметр полученного прямоугольника равен P=2(7y+4y)=22y. Чтобы найти периметр исходной фигуры, нужно к периметру прямоугольника прибавить сумму длин четырех отрезков, каждый длиной y: P=22y+4∙y=26y .
D) .
Перенесем из внутренней области во внешнюю все горизонтальные линии и передвинем две вертикальные внешние линии в левом и правом углах, соответственно, на z левее и правее. В результате получим большой прямоугольник, периметр которого равен P=2(11z+3z)=28z.
Периметр исходной фигуры равен сумме периметра большого прямоугольника и длин шести отрезков по z: P=28z+6∙z=34z .
B) .
Решение полностью аналогично решению предыдущего примера. После преобразования фигуры находим периметр большого прямоугольника:
P=2(5z+3z)=16z. К периметру прямоугольника прибавляем сумму длин оставшихся шести отрезков, каждый из которых равен z: P=16z+6∙z=22z .
Периметр - это сумма длин всех сторон многоугольника.
- Для вычисления периметра геометрических фигур используются специальные формулы, где периметр обозначается буквой «P». Название фигуры рекомендуется писать маленькими буквами под знаком «P», чтобы знать чей периметр ты находишь.
- Периметр измеряется в единицах длины: мм, см, м, км и т.д.
Отличительные особенности прямоугольника
- Прямоугольник – это четырехугольник.
- Все параллельные стороны равны
- Все углы = 90º.
- Например в повседневной жизни прямоугольник может встречаться в виде - книги, монитора, крышки от стола или двери.
Как вычислить периметр прямоугольника
Существует 2 способа его нахождения:
- 1 способ. Складываем все стороны. P = a + а + b + b
- 2 способ. Сложить ширину и длину, и умножить на 2. P = (a + b) · 2. ИЛИ Р = 2 · а + 2 · b. Стороны прямоугольника, которые лежат друг против друга (противолежащие), называются длиной и шириной.
«a» - длина прямоугольника, более длинная пара его сторон.
«b» - ширина прямоугольника, более короткая пара его сторон.
Пример задачи на подсчет периметра прямоугольника:
Вычислите периметр прямоугольника, есть его ширина равна 3 см., а длина - 6.
Запомни формулы вычисления периметра прямоугольника!
Полупериметр - это сумма одной длины и одной ширины.
- Полупериметр прямоугольника - когда выполняешь первое действие в скобках – (a+b) .
- Чтобы из полупериметра получить периметр, нужно его увеличить в 2 раза, т.е. умножить на 2.
Как найти площадь прямоугольника
Формула площади прямоугольника S= a*b
Если в условии известна длина одной стороны и длина диагонали, то площадь найти можно, используя в таких задачах, теорему Пифагора, она позволяет найти длину стороны прямоугольного треугольника если известны длины двух других сторон.
- : a 2 + b 2 = c 2 , где a и b – стороны треугольника, а с – гипотенуза, самая длинная сторона.
Помни!
- Все квадраты – прямоугольники, но не все прямоугольники – квадраты. Так как:
- Прямоугольник - это четырехугольник со всеми прямыми углами.
- Квадрат - прямоугольник, у которого все стороны равны.
- Если ты находишь площадь, ответ всегда будет в квадратных единицах (мм 2 , см 2 , м 2 , км 2 и т.д.)